FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA

Crediti: 
6
Sede: 
PARMA
Anno accademico di offerta: 
2021/2022
Responsabile della didattica: 
Settore scientifico disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Anno di corso: 
1
Lingua di insegnamento: 

ITALIANO

Obiettivi formativi

Conoscenze e capacità di apprendere: Alla fine del percorso di insegnamento, lo studente dovrà conoscere le definizioni e i risultati fondamentali, gli strumenti e i metodi matematici dell’Analisi Matematica (limiti, calcolo differenziale e calcolo integrale di funzioni reali di una variabile reale, equazioni differenziali ordinarie) necessari in diverse applicazioni, e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.Competenze: Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per risolvere problemi di Analisi Matematica non identici a quelli già conosciuti ma chiaramente correlati ad essi, nonché di estrapolare dati significativi per una loro interpretazioneAutonomia di giudizio: Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza delle soluzioni prodotte durante l'esame scritto, costruendo e sviluppando argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; dovrà riconoscere dimostrazioni corrette e di individuare ragionamenti fallaci.Capacità comunicative: Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso, tramite un linguaggio matematico formalmente corretto, anche lavorando in gruppo.

Prerequisiti

Abilità nella trattazione di espressioni numeriche e nella risoluzione di equazioni e disequazioni numeriche. Funzioni elementari (potenze, polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche).

Contenuti dell'insegnamento

Nozioni base di teoria degli insiemi. I numeri reali. Funzioni reali di una variabile reale : proprietà, limiti, continuità, derivabilità, integrabilità. Equazioni differenziali ordinarie.

Programma esteso

1. Elementi di teoria degli insiemi; operazioni fra insiemi, connettivi logici. Insiemi numerici: N, Z, Q, R. Operazioni algebriche, ordinamento, maggioranti, minoranti, estremi superiore ed inferiore, massimo e minimo. Intervalli e intorni. 2. Funzioni reali e proprietà: definizione, dominio, codominio e immagine. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, inverse. Composizione di funzioni e proprietà. Grafico di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni limitate. Punti di massimo e di minimo di una funzione reale. Manipolazione di grafici di funzioni elementari (valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche)3. Limiti di funzioni di variabile reale, limite destro e sinistro, teoremi fondamentali sui limiti; teoremi di confronto; limiti di funzioni composte; limiti notevoli. Operazioni coi limiti e forme indeterminate. Continuità di una funzione reale e proprietà: permanenza del segno, continuità della funzione composta. Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass. 4. Calcolo differenziale: rapporto incrementale e suo significato geometrico, derivazione, regole di derivazione, proprietà delle funzioni derivabili. Estremi relativi, teoremi di Fermat, Lagrange, Rolle e conseguenze. Teorema di de L'Hopital. Derivate successive e formula di Taylor. Studio di funzione: crescenza, decrescenza, concavità, convessità, asintoti e grafico.5. Calcolo integrale: definizione dell’integrale, proprietà dell'integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo. Calcolo di integrali definiti. Integrale indefinito, primitive, secondo teorema fondamentale del calcolo. Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita.6. Nozione di equazione differenziale. Integrazione di alcune classi di equazioni differenziali: equazioni lineari del primo ordine in forma normale; equazioni a variabili separabili; equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

Bibliografia

Può esser utilizzato qualunque testo di Analisi 1, come ad esempio,M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, "Analisi Matematica 1", Ed. Zanichelli. M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, “Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare”, Ed. Zanichelli. P. Marcellini, C. Sbordone, “Elementi di Analisi Matematica 1”, Liguori Ed.G. Catino, F. Punzo, "Esercizi Svolti di Analisi e Geometria 1", Esculapio, 2020

Metodi didattici

L’insegnamento si svolge attraverso lezioni frontali in cui si affrontano aspetti sia teorici che, soprattutto, applicativi.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso una verifica finale consistente in una prova scritta (quiz a risposta multipla e quesiti aperti) seguita da una prova orale (facoltativa o a discrezione del docente).